证明x^2=2无有理数解

反证法 假设该方程存在一个正有理数解x_{1}=\frac{a}{b},a,b均为正整数且互素,

那么\frac{a^2}{b^2}=2

a^2=2b^2

上式右边为偶数(2与任何整数相乘均为偶数[1]),故a为偶数(若一正整数的平方为偶数,则该数为偶数[2]),

a=2a_{1}, 代入上式得4a_{1}^2=2b^2

故可推出b也为偶数,即a,b有共因子

与假设矛盾,故x^2=2无有理数解.[]

注[1]偶数为”能被2整除的数”,由此定义便知命题成立.

注[2]某正整数的平方为偶数的充要条件是:该数为偶数

分析:

充分性 a为偶数 => a^2为偶数

a^2可看作a个a相加,a为偶数,两个偶数相加也为偶数,故a^2为偶数

另一种思路: a^2=a*a=2k*2k=2*2k^2,由k的任意性得a^2为偶数

必要性 a^2为偶数 => a为偶数

反证法 假设a为奇数,则a=2k-1,a^2=a*a=(2k-1)^2=4k^2-4k+1, 由注[1]易知4k^2-4k为偶数,故a^2=4k^2-4k+1为奇数,与a^2为偶数矛盾,故原命题成立.

证明:见分析.[]

若证明过程有疏漏请告知,谢谢.

所以,上数学分析的数学系的孩纸,上课只有种三想法:
1、这tm也要证?(显然易见啊~)
2、这tm也能证?(想出来就不容易还要证明啊~)
3、这tm还能这么证?

(来自知乎@廉帝在’「高等数学」与「数学分析」的区别与联系有哪些?’的回答与@清河孤坟在该回答下的评论)

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